За да превърнем текстова задача в уравнение, първо избираме какво означава неизвестното, после изразяваме останалите величини чрез него и записваме равенство между две описания на една и съща стойност. Решаването на уравнението е следваща стъпка. Ако математическият модел не отговаря на текста, дори безгрешното пресмятане ще даде неподходящ резултат.
Не търсете автоматична замяна на всяка дума със знак. „Повече“ може да участва в различни отношения, а „останалите“ изисква да разберете кое количество е цялото. По-полезно е да преразкажете ситуацията и да назовете връзките. Така уравнението става кратък запис на смисъл, който вече сте разбрали.
Изберете неизвестното и неговата единица
Обикновено удобен избор е величината, за която се пита. Запишете например „x е броят на тетрадките“ или „x е първоначалната цена в левове“. Самото означение x без обяснение не е достатъчно. По-късно трябва да знаете дали резултатът е брой предмети, време, дължина или друга величина, за да проверите допустимостта му.
Понякога по-удобно е да изберете междинна величина. При две числа, едното с 7 по-голямо от другото, може да означите по-малкото с x и по-голямото с x + 7. Това прави разликата видима. След решението обаче трябва да отговорите на първоначалния въпрос, който може да изисква и двете числа, а не само x.
Запишете ограниченията, когато са нужни. Брой ученици трябва да е неотрицателно цяло число; дължина обикновено е положителна; времето до бъдеща среща не може да е отрицателно. При дробни изрази знаменателите не трябва да са нула. Тези условия са част от задачата и могат да отхвърлят формален корен на уравнението.
Преведете зависимостите, без да бързате
Изразът „с 5 повече от x“ се записва x + 5. Изразът „три пъти колкото x“ се записва 3x. Това са различни зависимости: едната е добавяне на постоянно количество, другата е умножение. За контрол изберете примерно x = 4: резултатите са съответно 9 и 12. Малък числов тест помага да се разграничат моделите.
За свързана учебна подкрепа разгледайте подкрепа за основните умения в 5–6 клас.
При изречение „числото е с 5 по-малко от y“ записът е y − 5. Следете кое число се сравнява с кое. Думите се четат в конкретния контекст, а не като списък от ключови сигнали. Ако изразът не може да се обясни с едно ясно изречение, още не сте готови да го включите в уравнението.
Равенството обикновено идва от общ сбор, обща цена, еднакво положение или друга известна връзка. Например ако две количества общо са 30, сборът на изразите за тях е 30. Питайте „Кои две стойности твърди текстът, че са равни?“. Този въпрос е по-полезен от търсенето на число, което просто да поставите вдясно.
Пример 1: две числа с известен сбор
Задача: сборът на две числа е 41, а второто е с 7 по-голямо от първото. Намерете числата. Означаваме първото с x. Тогава второто е x + 7, защото към първото добавяме 7. Общият сбор дава уравнението x + (x + 7) = 41. Скобите отделят целия израз за второто число.
Събираме подобните членове: 2x + 7 = 41. Изваждаме 7 от двете страни, за да запазим равенството и да отделим члена с неизвестното: 2x = 34. Делим двете страни на 2: x = 17. Второто число е 17 + 7 = 24. Отговорът съдържа и двете търсени числа.
Проверка в условието: 17 + 24 = 41 и 24 − 17 = 7. Трябва да са изпълнени и двете зависимости, а не само уравнението за сбора. Ако случайно сте записали второто като x − 7, може да получите числа с правилен сбор, но с разменен смисъл. Затова проверката се връща към оригиналния текст.
Пример 2: обща цена и постоянен разход
Задача: купени са няколко тетрадки по 3 лв. и една папка за 5 лв. Общата сума е 26 лв. Колко тетрадки са купени? Нека x е броят тетрадки. Общата им цена е 3x лв., защото всяка струва 3 лв. Папката добавя фиксиран разход 5 лв., така че 3x + 5 = 26.
Допълнителна информация ще намерите в подготовка за НВО.
Изваждаме цената на папката: 3x = 21. Делим останалата сума на цената на една тетрадка: x = 7. Получаваме цяло положително число, което е допустимо за брой купени предмети. Единицата на x е „тетрадки“, докато 3x и 5 са парични суми. Това разграничение помага да не се събират несъвместими величини.
Проверка: седем тетрадки струват 7 × 3 = 21 лв. С папката общата цена е 21 + 5 = 26 лв. Това изпълнява условието. Ако разделите 26 на 3 още в началото, ще разпределите и цената на папката между тетрадките. Фиксираният разход трябва първо да бъде отделен чрез модела или чрез логическо разсъждение.
Пример 3: правоъгълник с известна обиколка
Задача: дължината на правоъгълник е с 4 см по-голяма от ширината. Обиколката е 36 см. Намерете страните. Нека ширината е x см, тогава дължината е x + 4 см. Обиколката съдържа две ширини и две дължини, затова записваме 2x + 2(x + 4) = 36.
Разкриваме скобите чрез умножение на всеки член: 2x + 2x + 8 = 36. Събираме: 4x + 8 = 36, следователно 4x = 28 и x = 7. Ширината е 7 см, а дължината е 7 + 4 = 11 см. Стъпката с числото 8 идва от 2 × 4, а не от промяна на условието.
Проверка: 2 × (7 + 11) = 36 см и 11 − 7 = 4 см. Двете страни са положителни. Не използваме произведението 7 × 11 за проверка на обиколката, защото то описва лице. При геометрична задача назовете коя величина се търси и коя е дадена, преди да избирате формула.
Пример 4: част от количество
Задача: след като бъдат продадени 2/5 от наличните билети, остават 90 билета. Колко са били първоначално? Нека x е първоначалният брой. Продадени са 2x/5, а останалите са x − 2x/5 = 3x/5. Уравнението е 3x/5 = 90. То описва оставащата, а не продадената част.
За следваща стъпка може да разгледате уроци за 8–11 клас.
Умножаваме двете страни по 5 и получаваме 3x = 450. Делим на 3: x = 150. Проверка: 2/5 от 150 са 60 билета, а 150 − 60 = 90. Ако запишем 2x/5 = 90, ще приемем погрешно, че 90 е продаденият брой. Четенето на думата „остават“ е решаващо за правилния модел.
Грешки при съставяне и решаване
Не сменяйте значението на неизвестното по средата. Ако x е първоначална цена, не го използвайте после като намаление, без ново означение. Пишете кратки пояснения до важните изрази. Така можете да сравните всеки ред с условието и да откриете моделна грешка още преди да стигнете до формален отговор.
Използвайте равносилни преобразувания: добавяйте или изваждайте едно и също от двете страни и делете само на ненулево число. Обяснението „прехвърлям и сменям знака“ е съкратен запис на тези действия. Ако знаците се объркват, временно записвайте операцията изцяло. Яснотата е по-важна от най-краткия възможен ред.
Често условието съдържа излишна за конкретния въпрос информация. Не е необходимо всяко дадено число да участва в уравнението. Проверете дали то описва реална зависимост с неизвестното. Използване на всички числа по задължение може да доведе до произволни действия, които изглеждат като решение, но не отговарят на математическия смисъл.
Практика от модел към самостоятелност
Направете първо кратки упражнения само за изрази: „с 8 повече“, „половината от“, „останалите след продажба на една трета“. После съставяйте уравнения, без веднага да ги решавате. Обяснявайте какво представлява всяка страна. Така отделяте трудността на моделирането от трудността на преобразуванията и виждате къде е нужен допълнителен преговор.
Опитайте самостоятелно: две числа имат сбор 50, а едното е с 6 по-голямо. Ако по-малкото е x, уравнението е x + x + 6 = 50. Получавате 22 и 28; проверката потвърждава и сбора, и разликата. После измислете собствено условие за същото уравнение, например за два броя предмети.
Може ли да избера друго неизвестно?
Да, стига всички изрази да следват избора. След решението върнете значението на неизвестното към въпроса и намерете останалите величини, ако се търсят.
Как се проверява допустимостта?
Брой предмети трябва да е цяло неотрицателно число, а дължина — положителна. Алгебрично получена стойност може да е недопустима за конкретното условие.
Трябва ли всяка текстова задача да има уравнение?
Не. Някои задачи се решават удобно с аритметични действия. Уравнението е полезно, когато ясно показва зависимостта и намалява риска от объркване.
За обсъждане на конкретните затруднения и подходяща учебна подкрепа използвайте контактите за уроци по математика в Пловдив. Подгответе класа, една трудна задача и целта на подготовката, за да бъде разговорът полезен.
Завършвайте всяка текстова задача с отговор на думи и проверка на ограниченията. Върнете намерените стойности във всички важни зависимости от текста. Ако можете да обясните защо сте избрали неизвестното и откъде идва равенството, вече работите с математически модел. Това умение е основа за проценти, движение, работа и геометрични задачи.
