Дискриминанта на квадратното уравнение ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, е числото D = b2 − 4ac. Нейният знак показва колко реални корена има уравнението: два различни при D > 0, един двоен при D = 0 и нито един при D < 0. Това е особено полезно, когато се търсят стойности на параметър, а не конкретни корени.
Първата проверка винаги е дали коефициентът пред x2 е ненулев. Ако той съдържа параметър, някоя негова стойност може да превърне уравнението в линейно. Тогава дискриминантата не класифицира решението по обичайното правило за квадратни уравнения. Разграничаването на тези случаи е основният акцент на статията.
Защо знакът на D има значение
Формулата за реалните корени е x = (−b ± √D)/(2a). При положително D добавяме и изваждаме положително число, затова получаваме две различни стойности. При D = 0 двата записа съвпадат. При отрицателно D квадратният корен не е реално число.
Същата зависимост може да се види чрез равносилния запис (2ax + b)2 = D. Той се получава от първоначалното уравнение чрез умножение по 4a и събиране с b2. Условието a ≠ 0 позволява да се запази равносилността при тези преобразувания.
Квадратът от лявата страна е неотрицателен. Ако D е отрицателно, равенството е невъзможно в реалните числа. Ако D е нула, вътрешният израз трябва да е нула. Ако D е положително, той може да бъде +√D или −√D, което обяснява двата корена.
Пример 1: знак, корени и независима проверка
Задача: определете броя на реалните корени на x2 − 6x + 8 = 0 и ги намерете. Коефициентите са a = 1, b = −6 и c = 8. Дискриминантата е D = (−6)2 − 4·1·8 = 36 − 32 = 4.
Понеже D > 0, има два различни реални корена. Изчисляваме x1 = (6 + 2)/2 = 4 и x2 = (6 − 2)/2 = 2. Тук √4 = 2, а −b = 6. Целият числител се дели на 2a.
Проверка: за x = 4 получаваме 16 − 24 + 8 = 0, а за x = 2 — 4 − 12 + 8 = 0. Независим запис е (x − 3)2 = 1, който дава x − 3 = ±1. Отново намираме 4 и 2, на еднакво разстояние от числото 3.
Ако задачата иска само броя на корените, може да приключим след знака на D. Ако иска и стойностите им, трябва да довършим пресмятането. Не добавяйте ненужна дълга формула, когато търсеният отговор е класификация; но и не пропускайте корените, ако са изрично поискани.
Пример 2: параметър в свободния член
Задача: за кои реални m уравнението x2 − 4x + m = 0 има два различни реални корена, двоен корен или няма реални корени? Тук a = 1 за всяко m, така че уравнението остава квадратно без изключение.
Получаваме D = (−4)2 − 4·1·m = 16 − 4m. За два различни корена решаваме 16 − 4m > 0. Това дава −4m > −16 и след деление на отрицателното число −4 обръщаме знака: m < 4.
За двоен корен имаме 16 − 4m = 0, откъдето m = 4. За липса на реални корени 16 − 4m < 0 дава m > 4. Получаваме три случая, които покриват всички реални стойности на параметъра и не се припокриват.
| Параметър | Знак на D | Реални решения |
|---|---|---|
| m < 4 | Положителен | Два различни корена |
| m = 4 | Нула | Двоен корен x = 2 |
| m > 4 | Отрицателен | Няма реални корени |
Проверяваме с представителни стойности. При m = 0 уравнението е x(x − 4) = 0 и има корени 0 и 4. При m = 4 то е (x − 2)2 = 0 и има двоен корен 2. При m = 5 получаваме (x − 2)2 + 1 = 0, което няма реално решение.
Графично функцията е y = (x − 2)2 + m − 4. Промяната на m премества параболата нагоре или надолу, а най-ниската ѝ стойност е m − 4. При m < 4 тя пресича Ox два пъти, при m = 4 допира оста, а при m > 4 остава над нея.
Пример 3: параметър пред квадратичния член
Задача: класифицирайте реалните решения на mx2 + 2x + 1 = 0 според m. Преди дискриминантата разглеждаме m = 0. Тогава уравнението е 2x + 1 = 0 и има едно линейно решение x = −0,5, което не е двоен квадратен корен.
За m ≠ 0 уравнението е квадратно. Дискриминантата е D = 22 − 4m·1 = 4 − 4m. При m < 1 тя е положителна, но трябва да запазим изключението m ≠ 0. Следователно има два различни реални корена за m < 1 и m ≠ 0.
При m = 1 имаме D = 0 и уравнение x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 = 0, така че двойният корен е −1. При m > 1 дискриминантата е отрицателна и няма реални корени. Случаят m = 0 се записва отделно от всички квадратни случаи.
Проверка при m = −3: получаваме −3x2 + 2x + 1 = 0. Корените са 1 и −1/3. Заместването на 1 дава −3 + 2 + 1 = 0, а на −1/3 дава −1/3 − 2/3 + 1 = 0. Това потвърждава два различни корена в областта m < 1, m ≠ 0.
Не използвайте D = 4 при m = 0, за да обявите два корена. Числото може да бъде пресметнато формално, но правилото за квадратното уравнение изисква ненулев водещ коефициент. Освен това формулата би съдържала деление на 2m = 0, което е недопустимо.
Как да организираме задача с параметър
- Запишете стандартния вид и коефициентите.
- Проверете кога водещият коефициент става нула.
- Решете тези случаи отделно.
- За останалите стойности изчислете D.
- Решете условията D > 0, D = 0 или D < 0 според въпроса.
- Обединете случаите и проверете граничните стойности.
При деление на отрицателно число в неравенство знакът се обръща. Ако се колебаете, проверете една стойност от получения интервал директно в D. Във втория пример m = 3 дава D = 4 > 0, което потвърждава посоката m < 4. Подобен контрол не заменя решението, но открива обърнат знак.
Граничните стойности са особено важни: те често сменят броя на корените или вида на уравнението. Не ги пропускайте при запис с интервали. Ако се търсят „реални корени“ без уточнение за различност, условието за квадратно уравнение е D ≥ 0, а не само D > 0.
Въпроси и упражнения за затвърждаване
Нулева дискриминанта означава ли липса на решения?
Не. При квадратно уравнение с a ≠ 0 тя означава един двоен реален корен. Липсата на реални корени се свързва с D < 0. Думата „нула“ се отнася до стойността на D, не до броя решения.
Мога ли да използвам графика вместо сметки?
Графиката обяснява зависимостта и помага за проверка. За точните параметрични области обаче решете съответното неравенство или равенство. При приблизителен чертеж гранична стойност може да бъде отчетена неточно.
Защо двойният корен и линейният корен са различни случаи?
Двойният корен идва от квадратен многочлен с повторен множител. Линейният корен се получава след отпадане на квадратичния член. И двата случая могат да дадат единствена реална стойност, но причината и приложимият метод са различни.
Какво да упражня след тези примери?
Класифицирайте x2 − 2x + m = 0 и mx2 − 4x + 1 = 0. Проверете отделно водещия коефициент и границата D = 0. За подготовка в Пловдив разгледайте уроците по математика за 8–11 клас в Пловдив, подготовката за матура по математика, насоките за грешките от невнимание и контактите за уточняване на урок, като покажете таблицата си със случаите.
