Задачите за съвместна работа се решават чрез производителност: каква част от цялата работа извършва всеки участник за единица време. Когато двама работят едновременно по една обща задача при постоянни скорости, техните производителности се събират. Не се събират времената, за които всеки би завършил задачата сам, защото тези времена описват различни самостоятелни ситуации.
Приемаме цялата работа за една единица. Ако човек я завършва за 6 часа, за един час извършва 1/6 от нея. Това не е броят изработени предмети, а относителна част от точно определената задача. Всички участници трябва да работят по една и съща обща работа и времената трябва да бъдат в еднакви единици.
Какво означава постоянна производителност
Основната връзка е работа = производителност × време. Ако производителността е 1/6 от работата за час, за 2 часа се извършват 2/6 = 1/3 от работата. Следователно при непроменена производителност удвояването на времето удвоява извършената част. Това допускане е част от учебния модел, а не универсално описание на всяка реална дейност.
В условието може да са дадени конкретни количества, например 120 изделия. Тогава производителността може да се записва и като изделия за час. Двата подхода са съвместими, но не трябва да се смесват в едно уравнение без преобразуване. Ако едната страна е брой изделия, другата също трябва да описва брой изделия, а не част от цялото.
При съвместна работа предполагаемите скорости са независими: участниците не си пречат и не изпълняват два пъти една и съща част. Ако задачата описва почивки, различни етапи или промяна в скоростта, те се отчитат отделно. Именно внимателното разделяне на времевите интервали предпазва от прилагане на една формула към неподходящо условие.
Пример 1: двама започват едновременно
Задача: първият работник изпълнява поръчка сам за 6 часа, а вторият за 3 часа. За колко часа ще я изпълнят заедно? Производителността на първия е 1/6, а на втория 1/3 от поръчката за час. Привеждаме дробите към общ знаменател и събираме: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 1/2.
За свързана учебна подкрепа разгледайте подготовка за НВО по математика.
Заедно изпълняват половината поръчка за час. Ако общото време е t часа, уравнението е t × 1/2 = 1. Делим цялата работа на общата производителност: t = 1/(1/2) = 2 часа. Полученият отговор е по-малък от времето на всеки поотделно, както очакваме при едновременно изпълнение с положителни производителности.
Проверка: за 2 часа първият извършва 2/6 = 1/3 от поръчката, а вторият 2/3. Сборът е 1/3 + 2/3 = 1, тоест цялата работа. Ако вместо това бяхме събрали 6 + 3 = 9 часа, щяхме да получим по-бавно изпълнение от всеки участник самостоятелно, което противоречи на модела.
Пример 2: първо работи само единият
Задача: машина А изпълнява работа за 8 часа, а машина Б за 12 часа. Машина А работи сама 2 часа, след което двете продължават заедно до края. Колко време работят заедно и колко е общото време от първоначалния старт? Първо изчисляваме извършената част: 2 × 1/8 = 1/4.
Остават 1 − 1/4 = 3/4 от работата. Общата производителност след включването на Б е 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24 за час. Ако съвместната работа продължава x часа, записваме x × 5/24 = 3/4. Получаваме x = (3/4)/(5/24) = 18/5 = 3,6 часа.
Числото 3,6 часа означава 3 часа и 36 минути, защото 0,6 × 60 = 36. Общото време е 2 + 3,6 = 5,6 часа, тоест 5 часа и 36 минути. Двата отговора са различни, защото въпросите са различни. Не записвайте 3 часа и 6 минути: десетичната част от часа не е директно брой минути.
Проверка: през съвместните 3,6 часа двете машини извършват 3,6 × 5/24 = 3/4. Добавяме първоначалната 1/4 и получаваме 1. Може да проверим и по машини: А работи 5,6 часа и извършва 0,7 от задачата, а Б работи 3,6 часа и извършва 0,3. Сборът отново е точно една работа.
Пример 3: неизвестно време на втория участник
Задача: първият участник завършва работа сам за 10 часа. Заедно с втория я завършват за 4 часа. За колко часа вторият би я изпълнил сам? Общата производителност е 1/4 от работата за час. От нея изваждаме известната производителност 1/10, за да намерим приноса на втория.
Допълнителна информация ще намерите в уроци за 8–11 клас.
Пресмятаме 1/4 − 1/10 = 5/20 − 2/20 = 3/20. Следователно вторият изпълнява 3/20 от работата за час. Самостоятелното му време е 1/(3/20) = 20/3 часа. Това са 6 часа и 40 минути, защото дробната част 2/3 от час е 40 минути.
Проверка: за общите 4 часа първият извършва 4/10 = 2/5 от работата. Вторият извършва 4 × 3/20 = 3/5. Сборът е 1, а общото време 4 часа е по-малко от самостоятелните времена на двамата. Така проверяваме едновременно сметката и логическата съвместимост на резултата с условието.
Таблица, която предотвратява объркването
Преди уравнението подредете за всеки участник три величини: производителност, време и извършена работа. При закъсняло включване времената обикновено не са равни. Ако първият работи t часа, а вторият започва 2 часа по-късно, времето на втория е t − 2 часа. Това важи само когато t е измерено от старта на първия.
Изберете една ясна отправна точка за неизвестното. Може да означите с x само времето, през което работят заедно; тогава първият има x + 2 часа работа. И двата избора са правилни, ако се използват последователно. Грешката възниква, когато в една част от решението x е общо време, а в друга е само съвместният период.
Дори без нарисувана таблица можете да проверявате всяко произведение с въпроса „Чия скорост умножавам по чието време?“. Произведение от скоростта на първия и времето на втория обикновено няма смисъл. Записването на имената или буквите до величините прави тези несъответствия видими, преди да започнете преобразуване на уравнението.
Чести грешки и граници на модела
Средноаритметичното на самостоятелните времена не е съвместното време. Например между 6 и 3 часа средната стойност е 4,5 часа, но провереният общ резултат е 2 часа. Причината е, че събираме скорости на изпълнение, а не продължителности. Един по-бърз участник допринася повече работа за всеки общ час, което трябва да бъде отразено.
Не използвайте едновременно часове и минути в една формула. Ако единият изпълнява задачата за 120 минути, а другият за 3 часа, първо превърнете 120 минути в 2 часа или 3 часа в 180 минути. Едва след това запишете производителностите. В противен случай знаменателите изглеждат сходни, но описват различни единици време.
При пълнене и изпразване на съд може да има противоположни действия: притокът се добавя, оттокът се изважда. Не пренасяйте механично правило за събиране на всички скорости. Ако общият приток не надвишава оттока, съдът няма да се напълни при този модел. Преди смятане назовете дали всяко действие увеличава или намалява търсената работа.
Как да упражнявате съвместна работа
За самостоятелна задача изберете времена 4 и 12 часа. Общата производителност е 1/4 + 1/12 = 1/3, следователно общото време е 3 часа. Проверете с отделните приноси: 3/4 и 3/12 = 1/4. После променете условието, като първият започне сам за час, и отново изчислете оставащата работа преди общия период.
Упражнявайте последователно три въпроса: колко се прави за единица време, колко остава и кои участници работят през разглеждания интервал. Ако дробите затрудняват решението, върнете се към общ знаменател и деление на дроби, вместо да учите формулата наизуст. В темите за НВО тези основни умения често са по-важни от запомнянето на готов модел.
Защо общото време е по-кратко?
При положителни независими производителности общата скорост на изпълнение надвишава всяка отделна. Това твърдение се отнася до едновременно начало по една и съща работа без взаимно пречене.
Какво означава една работа?
Това е цялото количество, описано в задачата: една поръчка, един пълен съд или определен брой изделия. Дробите трябва да се отнасят до същото цяло.
Кога разделяме решението на етапи?
При закъсняло включване, почивка или промяна на производителността. За всеки интервал определете кои участници работят и пресметнете извършената част отделно.
За обсъждане на конкретните затруднения и подходяща учебна подкрепа използвайте контактите за уроци по математика в Пловдив. Подгответе класа, една трудна задача и целта на подготовката, за да бъде разговорът полезен.
Накрая проверете, че сборът на извършените части е точно цялата работа и че времената отговарят на описаните етапи. Запишете отговора с единица и уточнение дали е общо или съвместно време. Когато можете да обясните всяко произведение със смислено изречение, уравнението е разбираемо и може да се адаптира към ново условие.
