Линейни неравенства решаваме, като извършваме еднакви допустими преобразувания от двете страни и намираме всички числа, за които сравнението е вярно. Най-важното правило е, че при умножение или деление с отрицателно число знакът се обръща. Накрая записваме множеството от решения и проверяваме границата и по едно число от двете ѝ страни.
Какво търсим вместо един отговор
Неравенството сравнява два израза чрез знаците <, >, ≤ или ≥. При x > 3 решения са всички реални числа, по-големи от 3: например 3,1; 4 и 100. Числото 3 не участва, защото знакът е строг, а равенството не е разрешено.
При x ≥ 3 към същото множество добавяме и граничната стойност 3. Затова трябва да различаваме „по-голямо“ от „по-голямо или равно“. Това не е дребна подробност в оформлението, а промяна в самия отговор на задачата.
Линейно е неравенство, което след допустими преобразувания има вида ax + b < 0 или аналогично сравнение. Неизвестното участва на първа степен. Изрази с x², с неизвестно в знаменател или под корен изискват други методи и допълнителни условия.
Преобразуванията и обръщането на знака
Прибавянето или изваждането на едно и също число запазва сравнението. От 2 < 5 след прибавяне на 7 получаваме 9 < 12. Затова можем да събираме неизвестните в едната страна и известните числа в другата, като записваме внимателно всяка промяна.
Умножението с положително число също запазва посоката: от 2 < 5 след умножение с 3 следва 6 < 15. При отрицателно число обаче редът се обръща. Умножението с −1 дава −2 > −5, защото −2 е по-вдясно върху числовата ос.
Практическият алгоритъм е: разкрийте скобите, приведете подобните членове, изолирайте члена с x и разделете на неговия коефициент. Преди последната стъпка оградете знака на коефициента. Ако той е отрицателен, променете посоката на неравенството още на същия ред.
Като допълващ материал прочетете Как да превръщаме текстова задача в уравнение. Изберете от него една приложима идея и я използвайте при следващото упражнение, вместо да променяте едновременно целия си начин на работа.
Пример 1: положителен коефициент
Задача: решете 3x + 2 < 14. Изваждаме 2 от двете страни, за да остане членът с неизвестното: 3x < 12. Делим на положителното число 3 и получаваме x < 4. Знакът не се обръща, защото делителят е положителен.
Проверяваме x = 3: 3·3 + 2 = 11 и 11 < 14 е вярно. Проверяваме x = 5: 3·5 + 2 = 17 и 17 < 14 е невярно. При границата x = 4 се получава 14 < 14, което също е невярно.
Следователно на числовата ос отбелязваме празна точка при 4 и оцветяваме наляво. В интервален запис отговорът е (−∞; 4). Скобата при 4 е кръгла, защото границата не е решение; безкрайността винаги се записва с кръгла скоба.
Пример 2: отрицателен коефициент
Задача: решете 5 − 2x ≤ 11. Изваждаме 5: −2x ≤ 6. Сега делим на −2 и задължително обръщаме знака: x ≥ −3. Получили сме всички реални числа от −3 надясно, включително −3.
Проверката на границата дава 5 − 2·(−3) = 11, а 11 ≤ 11 е вярно. За x = 0 лявата страна е 5, така че сравнението остава вярно. За x = −4 лявата страна е 13 и 13 ≤ 11 е невярно.
Върху оста използваме плътна точка при −3 и оцветяване надясно. Интервалът е [−3; +∞). Именно проверката с число извън получения интервал помага да се забележи пропуснатото обръщане на знака: грешният отговор би включил −4.
Пример 3: скоби и дробни изрази
Задача: решете (2x − 1)/3 − (x + 2)/2 > 1. Общият знаменател е 6, затова умножаваме цялото неравенство с 6. Числото е положително, следователно знакът се запазва: 2(2x − 1) − 3(x + 2) > 6.
Разкриваме скобите: 4x − 2 − 3x − 6 > 6. Минусът пред втората скоба се отнася и за двата члена. След събиране получаваме x − 8 > 6, след което прибавяме 8 и намираме x > 14.
При x = 20 първият дробен израз е 39/3 = 13, а вторият е 22/2 = 11. Разликата е 2 и 2 > 1 е вярно. При x = 14 разликата е 27/3 − 16/2 = 9 − 8 = 1, така че границата не се включва.
Като допълващ материал прочетете Как да намалим грешките от невнимание по математика. Изберете от него една приложима идея и я използвайте при следващото упражнение, вместо да променяте едновременно целия си начин на работа.
Особени случаи и грешки при записване
Понякога неизвестното се съкращава напълно. Например 2(x + 1) > 2x + 1 се свежда до 2 > 1. Това е вярно независимо от x и решения са всички реални числа. При 2(x + 1) < 2x + 1 получаваме невярното 2 < 1 и няма решения.
Не делете на нула и не записвайте механично x = число след неравенство. При уравнение често търсим отделни стойности, докато тук обикновено получаваме интервал. Друго объркване е да се нарисува правилна посока, но плътна точка при строг знак; сверявайте графиката с окончателния запис.
Ако задачата търси целочислени решения, първо намерете реалния интервал, после изберете целите числа в него. Например при −2 < x ≤ 2 целите решения са −1, 0, 1 и 2. Думата „целочислени“ в условието променя начина на представяне на отговора, но не и правилата за преобразуване.
Въпроси, които възникват при упражняване
Достатъчна ли е проверка с едно число?
Една замяна показва само дали конкретното число е решение. Тя не доказва целия интервал. Еквивалентните преобразувания обосновават множеството, а проверките от двете страни на границата откриват грешки в знака и посоката.
Кога точката е празна?
При строгите знаци < и > граничната стойност не участва. При ≤ и ≥ точката е плътна, защото равенството е допустимо. Винаги проверявайте границата и в първоначалното неравенство.
Може ли да умножим по израз с x?
Не без анализ на неговия знак и възможните нулеви стойности. За разгледаните линейни задачи използваме известни ненулеви числа. Произволното умножение по x може да промени посоката или да загуби решения.
При самостоятелна работа сравнете два близки примера и посочете коя промяна влияе на метода. Запазете началното условие, защото проверката трябва да се отнася до него. Ако резултатът не премине проверката, намерете първия ред, който не следва от предишния, вместо да започвате безцелно всички сметки отначало.
След решението обяснете с думи защо избраното действие е допустимо. После опитайте задача с други числа и същата зависимост. Когато можете да разпознаете нужния метод, да го приложите и да проверите отговора самостоятелно, упражнението е изпълнило учебната си цел.
Следващата полезна стъпка
Упражнете три вида задачи: с положителен коефициент, с отрицателен коефициент и със скоби. За всяка запишете последния ред с x, нарисувайте числова ос и проверете границата. След това изберете по едно число от разрешената и забранената страна и заместете в първоначалния израз.
Ако самостоятелната работа не изяснява къде възниква затруднението, полезна е насочена обратна връзка. Възможност за такава подкрепа предлага Уроци по математика за 8–11 клас в Пловдив. Целта на първия разговор е да се уточнят текущото ниво и конкретната учебна трудност, преди да се избере подходящ обем упражнения.
За присъствена помощ в Пловдив ориентирът е Кючук Париж, район Южен. Можете да обсъдите подходяща подготовка чрез страницата за контакти, като посочите класа, темата и пример за задача, която затруднява ученика. Конкретният пример помага разговорът да започне от реална потребност.
