Правоъгълен триъгълник е триъгълник с един ъгъл 90°. Двете страни, които образуват този ъгъл, са катети, а срещулежащата страна е хипотенуза. За намиране на страна използваме Питагоровата теорема, а лицето е половината от произведението на катетите. Най-надеждният старт е да означим правия ъгъл и да разпознаем правилно трите страни.
Означения, които предотвратяват объркване
Нека в триъгълника ABC ъгълът при C е прав. Тогава AC и BC са катети, а AB е хипотенуза. Ако използваме a = BC, b = AC и c = AB, формулата е a² + b² = c². Буквите сами по себе си не определят ролята на страните: определя я положението спрямо правия ъгъл.
Хипотенузата е най-дългата страна, защото лежи срещу най-големия ъгъл. Това е бърза проверка на резултат: ако изчисленият катет се окаже по-дълъг от дадената хипотенуза, трябва да прегледаме означенията и сметките. Скицата подпомага разбирането, но условието има предимство пред приблизителния рисунък.
Другите два ъгъла са остри и сборът им е 90°. Ако единият е 35°, другият е 90° − 35° = 55°. Не можем да определим тези два ъгъла само от твърдението, че триъгълникът е правоъгълен; необходима е още информация.
Кога работи Питагоровата теорема
За всеки правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катетите. Важно е да събираме квадратите, а не дължините. При катети 3 cm и 4 cm хипотенузата е 5 cm, а не 7 cm.
За неизвестна хипотенуза записваме c = √(a² + b²). За неизвестен катет преобразуваме до a = √(c² − b²). Дължините са положителни, затова след извличане на корен избираме положителната стойност; отрицателен алгебричен резултат не описва страна.
Обратната теорема позволява да проверим дали даден триъгълник е правоъгълен. Избираме най-дългата страна и сравняваме нейния квадрат със сбора на останалите два квадрата. Преди това проверяваме, че дължините изобщо могат да образуват триъгълник: сборът на всяка двойка трябва да е по-голям от третата.
Като допълващ материал прочетете Как да превръщаме текстова задача в уравнение. Изберете от него една приложима идея и я използвайте при следващото упражнение, вместо да променяте едновременно целия си начин на работа.
Пример 1: хипотенуза и периметър
Задача: катетите са 6 cm и 8 cm. Намерете хипотенузата и периметъра. Записваме c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Положителният квадратен корен е c = 10 cm, а периметърът е 6 + 8 + 10 = 24 cm.
Проверяваме основното равенство: 36 + 64 = 100. Получената хипотенуза 10 cm е по-дълга и от 6 cm, и от 8 cm. Също така 6 + 8 > 10, следователно дължините удовлетворяват неравенството за триъгълник.
Този пример е удобен за разпознаване на пропорционални тройки. Числата 6, 8 и 10 са удвоените 3, 4 и 5. Подобно разпознаване може да ускори работата, но записът на теоремата остава необходим, когато се изисква обосновано решение.
Пример 2: катет и лице
Задача: хипотенузата е 13 cm, а единият катет е 5 cm. Намерете другия катет и лицето. Нека неизвестният катет е b. Тогава b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, така че b = 12 cm.
Катетите са взаимно перпендикулярни и могат да служат като основа и височина. Затова S = 5·12/2 = 30 cm². Не използваме 13 вместо единия катет в тази формула, защото хипотенузата не е перпендикулярна на дадения катет.
Проверяваме 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². За лицето можем да си представим правоъгълник със страни 5 cm и 12 cm: неговото лице е 60 cm², а диагоналът го разделя на два еднакви правоъгълни триъгълника, всеки с лице 30 cm².
Пример 3: диагонал в правоъгълник
Задача: правоъгълник има страни 9 m и 12 m. Намерете диагонала. Диагоналът образува правоъгълен триъгълник със съседните страни, затова d² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Получаваме d = 15 m.
Причината да приложим теоремата е правият ъгъл на правоъгълника, не това, че чертежът прилича на позната фигура. Проверяваме 81 + 144 = 225 и отбелязваме, че диагоналът 15 m е по-дълъг от всяка страна. Единицата е метър, защото търсим дължина.
Ако задачата вместо диагонал търси лице на правоъгълника, отговорът е 9·12 = 108 m². Различните въпроси използват едни и същи данни, но различни зависимости. Затова преди смятане напишете с думи каква величина се търси и каква единица очаквате.
Като допълващ материал прочетете Как да намалим грешките от невнимание по математика. Изберете от него една приложима идея и я използвайте при следващото упражнение, вместо да променяте едновременно целия си начин на работа.
Полезни следствия и граници на формулите
Медианата към хипотенузата е равна на половината от хипотенузата. Ако AB = 10 cm и M е средата на AB, тогава CM = 5 cm. Условието „към хипотенузата“ е съществено; това не е формула за произволна медиана в произволен триъгълник.
Височината към хипотенузата може да се намери чрез лицето. За катети 6 cm и 8 cm имаме S = 24 cm² и c = 10 cm. От S = c·h/2 следва h = 2S/c = 48/10 = 4,8 cm. Проверяваме 10·4,8/2 = 24 cm².
Не прилагайте Питагоровата теорема към триъгълник, за който не е установен прав ъгъл. Не изваждайте квадратите в обратен ред и не пропускайте извличането на корен. Резултатът b² = 144 cm² още не е дължината на катета; последната стъпка е b = 12 cm.
Преди работа уеднаквете единиците. Катети 30 cm и 0,4 m означават 30 cm и 40 cm, така че хипотенузата е 50 cm. Събирането на 30² и 0,4² без превръщане смесва различни мерни единици и няма смисъл като изчисление на страна.
Въпроси, които възникват при упражняване
Катетите могат ли да са равни?
Да. Тогава триъгълникът е равнобедрен правоъгълен, острите ъгли са по 45°, а при катет a хипотенузата е a√2. Това следва от c² = a² + a².
Защо лицето се дели на две?
Два еднакви правоъгълни триъгълника могат да образуват правоъгълник с размери двата катета. Лицето на всеки е половината от лицето на този правоъгълник, затова S = ab/2.
Какво показва отрицателен израз под корена?
При търсене на катет той показва несъвместими данни или грешка в избора на хипотенуза. Реална дължина не може да има отрицателен квадрат. Прегледайте условието, вместо да продължавате механично.
При самостоятелна работа сравнете два близки примера и посочете коя промяна влияе на метода. Запазете началното условие, защото проверката трябва да се отнася до него. Ако резултатът не премине проверката, намерете първия ред, който не следва от предишния, вместо да започвате безцелно всички сметки отначало.
След решението обяснете с думи защо избраното действие е допустимо. После опитайте задача с други числа и същата зависимост. Когато можете да разпознаете нужния метод, да го приложите и да проверите отговора самостоятелно, упражнението е изпълнило учебната си цел.
Следващата полезна стъпка
Начертайте три различно завъртени правоъгълни триъгълника и във всеки означете катети и хипотенуза. Решете задача за хипотенуза, задача за катет и задача за лице. Завършвайте с проверка на дължините, квадратите и единиците, за да изградите навик, който работи и при по-сложни фигури.
Ако самостоятелната работа не изяснява къде възниква затруднението, полезна е насочена обратна връзка. Възможност за такава подкрепа предлага Уроци по математика за 8–11 клас в Пловдив. Целта на първия разговор е да се уточнят текущото ниво и конкретната учебна трудност, преди да се избере подходящ обем упражнения.
За присъствена помощ в Пловдив ориентирът е Кючук Париж, район Южен. Можете да обсъдите подходяща подготовка чрез страницата за контакти, като посочите класа, темата и пример за задача, която затруднява ученика. Конкретният пример помага разговорът да започне от реална потребност.
