В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса катетът срещу този ъгъл е равен на половината от хипотенузата. Другият остър ъгъл е 60°. Ако малкият катет е a, хипотенузата е 2a, а големият катет е a√3. Първо определете коя страна стои срещу 30°, за да не размените двата катета.
Свойството се използва само когато триъгълникът е правоъгълен и има посочения ъгъл. Само ъгъл 30° в произволен триъгълник не дава отношение 1 : 2 на две страни. Рисунката помага за ориентация, но условието за прав ъгъл трябва да е дадено или доказано.
Разпознайте хипотенузата и малкия катет
Нека ΔABC има ∠C = 90° и ∠A = 30°. Хипотенузата е AB, защото е срещу правия ъгъл. Катетът срещу ∠A е BC. Следователно BC = AB/2. Катетът AC е прилежащ към 30° и не е половината от хипотенузата.
Третият ъгъл е ∠B = 180° − 90° − 30° = 60°. Страната срещу 60° е по-дълга от страната срещу 30°, затова AC > BC. Това сравнение е полезен контрол, ако получените дължини изглеждат обърнати. Хипотенузата остава най-дългата страна.
Обозначенията могат да се променят във всяка задача. Не запомняйте само буквите BC и AB, а връзката между страна и срещулежащ ъгъл. При завъртяна фигура малкият катет може да е вертикален, хоризонтален или наклонен. Положението върху листа не променя свойството.
Защо малкият катет е половината
Можем да отразим триъгълника спрямо правата AC. Нека отражението на B е B′. Получаваме AB = AB′, а ъгълът между тях е 30° + 30° = 60°. Равнобедреният ΔABB′ има и останалите два ъгъла по 60°, следователно е равностранен.
Точка C е средата на BB′, защото отражението запазва разстоянието до оста AC. Значи BB′ = 2BC. От равностранния триъгълник AB = BB′, затова AB = 2BC. Това доказва свойството, вместо да го приема само от приблизително измерване.
За другия катет използваме Питагоровата теорема: AC2 = AB2 − BC2 = (2a)2 − a2 = 3a2. Понеже дължината е положителна, AC = a√3. Така получаваме отношението на страните 1 : √3 : 2.
Пример 1: известна хипотенуза
Задача: в ΔABC е дадено ∠C = 90°, ∠A = 30° и AB = 14 cm. Намерете катетите. Първо определяме BC като страна срещу 30°, а AB като хипотенуза.
От свойството BC = 14 : 2 = 7 cm. За големия катет имаме AC = 7√3 cm. Може да получим същото и чрез AC2 = 142 − 72 = 196 − 49 = 147, откъдето AC = √147 = 7√3.
Проверка: 72 + (7√3)2 = 49 + 147 = 196 = 142. Малкият катет 7 е половината от 14. Големият е приблизително 12,12 cm, което е повече от 7 и по-малко от хипотенузата.
Когато задачата не иска приближение, запазете точния отговор 7√3 cm. Числото 12,12 е закръглено и при повторно повдигане на квадрат може да не възстанови точно 147. Точната форма е по-подходяща и за следващи изчисления на площ или периметър.
Пример 2: известен малък катет
Задача: малкият катет в правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° е 5 cm. Намерете хипотенузата, другия катет и периметъра. Понеже е посочен малкият катет, знаем, че той стои срещу 30°.
Хипотенузата е 2·5 = 10 cm. Големият катет е 5√3 cm. Периметърът е сборът на трите страни: P = 5 + 10 + 5√3 = 15 + 5√3 cm. Не смесвайте дължина на страна с площ: всички събираеми тук са в сантиметри.
Проверка: 52 + (5√3)2 = 25 + 75 = 100 = 102. Освен това 5 + 5√3 > 10, така че катетите имат достатъчен сбор спрямо хипотенузата. Приблизително P ≈ 23,66 cm, но точният отговор остава 15 + 5√3 cm.
Ако вместо малкия катет е даден големият, не удвояваме директно неговата дължина. Например при голям катет 6√3 cm малкият е 6 cm и хипотенузата е 12 cm. Определянето на ролята на известната страна трябва да предхожда всяка сметка.
Пример 3: диагонал на правоъгълник
Задача: диагоналът на правоъгълник е 20 cm и сключва ъгъл 30° с по-дългата страна. Намерете страните и площта. Диагоналът разделя правоъгълника на два правоъгълни триъгълника и във всеки е хипотенуза.
Страната срещу 30° е по-късата страна на правоъгълника, затова тя е 20 : 2 = 10 cm. По-дългата е 10√3 cm. Лицето е произведението на съседните страни: S = 10·10√3 = 100√3 cm2.
Проверка на диагонала: 102 + (10√3)2 = 100 + 300 = 400 = 202. Проверка на сравняването: 10√3 > 10, така че страната, към която е даден ъгълът, действително е по-дълга. Двата триъгълника имат по половината лице на правоъгълника, или 50√3 cm2.
Не приемайте диагонала за страна на правоъгълника при смятане на площта. Произведението 20·10 би използвало наклонена отсечка вместо втора перпендикулярна страна. Схемата показва кой триъгълник съдържа дадения ъгъл и защо диагоналът е хипотенуза.
Проверка и типични грешки
- Намерете правия ъгъл и срещулежащата му страна.
- Посочете катета срещу 30°.
- Използвайте отношението 1 : √3 : 2 в правилния ред.
- Проверете дължините чрез Питагоровата теорема.
- Запишете точна стойност и правилна мерна единица.
При квадратен корен не забравяйте, че за дължина избираме положителната стойност. Алгебрично уравнението x2 = 147 има два реални корена, но отрицателният не описва страна. Геометричният контекст определя допустимостта на резултата.
Честа грешка е да се напише (a√3)2 = 3a вместо 3a2. Повдигаме на квадрат и множителя a, и корена. За контрол разгледайте грешките от невнимание. При подготовка в Пловдив подготовката за НВО след 7 клас в Пловдив и уроците по математика за 8–11 клас в Пловдив могат да бъдат релевантни според текущия материал и необходимите основи.
Не правете заключение за 30° само от рисунка с катет, който изглежда приблизително половината. Обратното свойство също е вярно, но изисква доказано отношение в правоъгълен триъгълник. Условие за прав ъгъл и точно равенство на дължините са различни от визуално впечатление.
Още един полезен контрол е да сравните отношението на квадратите на катетите. При малък катет a и голям a√3 то е 1 : 3, а сборът е 4a². Това съвпада с квадрата на хипотенузата 2a. Например при a = 2 получаваме катети 2 и 2√3, хипотенуза 4 и проверка 4 + 12 = 16. Ако сте разменили умножението с деление на √3, този контрол ще покаже несъответствието.
Често задавани въпроси
Всеки триъгълник с ъгъл 30° има ли страна, равна на половината?
Не. Разгледаното свойство изисква правоъгълен триъгълник. При други ъгли и форма няма основание автоматично да използваме отношение 1 : 2. Проверете цялото условие, преди да приложите правилото.
Коя страна е срещу даден ъгъл?
Тя не съдържа върха на този ъгъл. Ако ъгълът е при A, срещулежащата страна е BC. Проследете това по буквите, а не по ориентацията на фигурата. Същият подход работи при завъртян или огледален чертеж.
Трябва ли да използвам тригонометрия?
Не е необходима за тези примери. Свойството за малкия катет и Питагоровата теорема дават всички търсени дължини. По-късно тригонометрията предлага друг запис, но не е нужно да се въвежда, преди основната геометрична връзка да е разбрана.
Как да упражня темата?
Решете първия пример с хипотенуза 18 cm, после намерете диагонал при малък катет 7 cm. За всяка задача отбележете 30° и проверете квадратите. Ако се затруднявате с избора на страна, използвайте контактите за уточняване на урок и покажете схема с буквите и известните данни.
