Задачи за работа се решават чрез производителността: частта от цялата работа, изпълнена за единица време. Ако човек завършва една работа сам за 6 часа при постоянен темп, производителността му е 1/6 от работата за час. При съвместна работа събираме производителностите, а не времената за самостоятелно изпълнение.
Този модел предполага, че темпът е постоянен и участниците не си пречат или помагат по начин, който променя индивидуалната им производителност. В учебната задача приемаме посочените условия, а в реална работна ситуация трябва да проверим дали подобно допускане е разумно. Една работа може да бъде цяла поръчка, боядисана площ или напълнен съд.
Как превръщаме времето в производителност
Означете цялата работа с 1. Ако самостоятелното време е T, за един час се изпълнява 1/T от нея. За t часа количеството е t/T. Това е същата зависимост като количество = производителност · време, но количеството е измерено като част от цялото.
Може да използвате и конкретни единици, когато са дадени. Например при 120 детайла за 6 часа производителността е 20 детайла за час. Представянето на работата като 1 е удобно, когато общият брой не е известен и не е нужен за решението. Не смесвайте детайли за час с части от работа за час в един сбор.
Колкото по-кратко е самостоятелното време, толкова по-голяма е производителността. Работник, който завършва за 3 часа, изпълнява 1/3 на час и е по-бърз от този с 1/6 на час. Тази обратна зависимост е полезна проверка още преди да се състави уравнението.
Пример 1: двама започват едновременно
Задача: първи работник изпълнява поръчка сам за 6 часа, а втори — за 3 часа. За колко часа ще я изпълнят заедно при постоянни производителности? Първо записваме индивидуалните темпове: 1/6 и 1/3 от поръчката за час.
Общата производителност е 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2. Ако общото време е t, уравнението е t·1/2 = 1. Делим на 1/2 и получаваме t = 2 часа. Събираме темповете, защото и двамата увеличават изпълнената част.
Проверка: за 2 часа първият извършва 2/6 = 1/3, а вторият — 2/3 от поръчката. Сборът е 1/3 + 2/3 = 1. Общото време 2 часа е по-малко и от 3, и от 6 часа, което съответства на положителния принос на двамата.
Не изчислявайте средното време (6 + 3)/2 = 4,5 часа. То не описва съвместното изпълнение. Ако двамата работят 4,5 часа при дадените темпове, биха извършили 4,5·1/2 = 2,25 поръчки, а се търси само една. Проверката на изпълненото количество веднага открива погрешния подход.
Пример 2: вторият се включва по-късно
Задача: работник A завършва работа сам за 6 часа, а работник B — за 4 часа. A започва сам и работи 2 часа, след което B се присъединява. Колко време ще работят заедно до завършването и колко време ще е минало от началото?
Първо намираме вече изпълнената част: 2·1/6 = 1/3. Остават 1 − 1/3 = 2/3 от работата. Общата производителност след включването на B е 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 от работата за час.
Нека t е времето, през което работят заедно. Съставяме (5/12)t = 2/3 и получаваме t = (2/3):(5/12) = (2/3)·(12/5) = 8/5 = 1,6 часа. Това са 1 час и 36 минути, защото 0,6 часа са 0,6·60 = 36 минути.
От първоначалното начало минават 2 + 1,6 = 3,6 часа, тоест 3 часа и 36 минути. Проверка: A работи общо 3,6 часа и изпълнява 3,6/6 = 0,6. B работи 1,6 часа и изпълнява 1,6/4 = 0,4. Сборът е 1, така че работата е точно завършена.
Често се получава верен сбор на производителностите, но грешно време за единия участник. Затова таблицата трябва да показва кой кога започва. Ако неизвестното е общото време от началото, времето на B ще бъде с 2 часа по-малко. Двата избора на неизвестно са възможни, но не трябва да се смесват в едно решение.
Пример 3: пълнене и изтичане
Задача: входяща тръба пълни празен съд за 10 минути, а изходяща го изпразва за 15 минути. Съдът е пълен на 1/5 и двете тръби се отварят. При постоянни потоци след колко минути съдът ще се напълни?
Входящата производителност е 1/10 съд за минута, а изходящата е 1/15. Изтичането намалява количеството, затова нетният поток е 1/10 − 1/15 = 3/30 − 2/30 = 1/30. Остава да се добавят 1 − 1/5 = 4/5 от съда.
Получаваме t·1/30 = 4/5, следователно t = 24 минути. Проверка чрез количеството в края: 1/5 + 24/10 − 24/15 = 0,2 + 2,4 − 1,6 = 1. Общият входящ обем може да надхвърли един съд, защото част от водата непрекъснато изтича.
Нетният поток е положителен, така че нивото нараства. Ако изходящият поток беше равен на входящия, нивото би останало постоянно. Ако беше по-голям, този модел не би довел до напълване. Знакът на разликата има реален смисъл и трябва да се проверява преди окончателния отговор.
Таблица и избор на неизвестно
| Участник | Производителност | Време | Извършена част |
|---|---|---|---|
| A от втория пример | 1/6 за час | 2 + t часа | (2 + t)/6 |
| B от втория пример | 1/4 за час | t часа | t/4 |
От тази таблица може да се запише и (2 + t)/6 + t/4 = 1. След умножение по 12 получаваме 2(2 + t) + 3t = 12, тоест 4 + 5t = 12 и t = 8/5. Това е същият резултат, намерен чрез оставащата работа, и показва два съгласувани начина за моделиране.
Когато времената са в различни единици, преобразувайте ги преди съставяне на таблицата. Не събирайте производителност за час с производителност за минута. Напишете единицата до неизвестното и проверете дали крайното време е общо или само за определен етап. Материалът за превръщането на текстова задача в уравнение помага при този преход от условие към уравнение.
Проверки, които предотвратяват типичните грешки
- Проверете дали всички производителности са за еднаква единица време.
- Определете кои процеси добавят и кои отнемат количество.
- Разграничете времената при различно начало.
- Върнете резултата в сбора на извършените части.
- Сравнете отговора с физическия смисъл на задачата.
При съвместна положителна работа общото време трябва да е по-кратко от времето на най-бързия участник, ако всички започват едновременно и работят постоянно. При забавено включване това сравнение се прави внимателно спрямо съответния етап. Не прилагайте проверката механично, без да отчетете началните условия.
За системно упражнение в Пловдив разгледайте подготовката за НВО след 7 клас в Пловдив и насоките за грешките от невнимание. Подготовката може да започне с общ знаменател и действия с дроби, ако именно там се губи точността. Големият текст на условието не трябва да скрива проста аритметична зависимост.
Често задавани въпроси
Защо цялата работа може да бъде 1?
Защото търсим части от едно и също общо количество, а не задължително неговата абсолютна стойност. Единицата означава завършена поръчка или пълен съд. Така различните производителности могат да се сравняват върху обща основа.
Може ли извършената част на един процес да е повече от 1?
При еднократно изпълнение без изтичане това би надхвърлило задачата. При входящ и изходящ поток общото преминало количество може да е по-голямо от вместимостта, докато наличното количество остава между празно и пълно. Проверявайте какво точно измерва изразът.
Как да намеря неизвестно самостоятелно време?
Първо намерете производителността на неизвестния участник от общия темп и известния темп. После вземете обратната стойност. Това е обратна зависимост, затова не изваждаме директно времената за завършване.
Какво да упражня след примерите?
Решете задача с едновременно начало и друга с предварително изпълнена част. За всяка направете таблица и проверка на общата работа. При нужда от обяснение използвайте контактите за уточняване на урок и покажете дали затруднението е в производителността, времето или превръщането на мерните единици.
