Задачите за движение се решават, като свържем пътя, скоростта и времето и проследим кой се движи през всеки интервал. При постоянна скорост пътят е s = v × t. Формулата сама не избира правилното време и не показва дали два пътя трябва да се събират или сравняват; това зависи от посоката и началното разположение.
Най-надеждният подход е първо да опишете ситуацията с думи, после с кратка схема и едва накрая с уравнение. Отбележете началните позиции, посоките, моментите на тръгване и търсената величина. Тук акцентът е върху началния аванс и различните моменти на старт. Едновременната среща служи като основа за сравнение, а после ще разграничим общото време от времето след тръгването на втория участник.
Път, скорост и еднакви единици
Когато скоростта е в километри за час, времето трябва да бъде в часове, за да получите път в километри. Например 30 минути са 0,5 часа, защото 30/60 = 0,5. При скорост 60 км/ч за този интервал пътят е 60 × 0,5 = 30 км. Умножение по числото 30 без преобразуване би дало неправилен резултат.
От основната връзка следват t = s/v при положителна скорост и v = s/t при положително време. Преди деление проверете какво означава знаменателят. Времето не може да е нула, ако описвате изминат път при движение с крайна скорост. В учебните примери обикновено се разглеждат положителни величини и равномерно движение.
Средната скорост за цял маршрут е общият път, разделен на общото време. Тя не е автоматично средноаритметично на две скорости. Ако има престой и условието пита за целия интервал от тръгване до пристигане, престоят влиза във времето. Прочетете уточнението, преди да решите кои интервали да включите в знаменателя.
Пример 1: път за част от час
Задача: велосипедист се движи с постоянна скорост 18 км/ч в продължение на 40 минути. Какъв път изминава? Преобразуваме времето: 40/60 = 2/3 часа. Използваме s = v × t и получаваме s = 18 × 2/3 = 12 км. Преобразуването е необходимо, защото скоростта е дадена за един час.
За свързана учебна подкрепа разгледайте уроци за 5–6 клас.
Проверка с обратната връзка: t = 12/18 = 2/3 часа, което е 40 минути. Можем да проверим и чрез разпределяне: за 20 минути, една трета от час, велосипедистът изминава 6 км. За 40 минути изминава два пъти повече, тоест 12 км. Независимата проверка потвърждава резултата без повторение на същата последователност.
Резултатът е логичен и като приблизителна оценка. За един час пътят е 18 км, а за 40 минути трябва да е по-малък. Ако получите 720 км, причината вероятно е използването на минутите като часове. Записвайте единиците до данните, за да виждате подобно несъответствие още преди окончателното пресмятане.
Пример 2: движение един срещу друг
Задача: два автомобила тръгват едновременно един срещу друг от места на 210 км разстояние. Скоростите им са 60 км/ч и 45 км/ч. За колко време ще се срещнат? Разстоянието между тях намалява с общо 60 + 45 = 105 км за час. Това е скоростта на сближаване при описаното движение.
Ако времето до срещата е t часа, двата изминати пътя са 60t и 45t километра. При срещата сборът им е 210 км, затова 60t + 45t = 210. Получаваме 105t = 210 и t = 2 часа. Използваме сбор, защото всеки участник изминава част от началното разстояние към другия.
Проверка: първият изминава 60 × 2 = 120 км, вторият 45 × 2 = 90 км. Сборът е 210 км, точно началното разстояние. Времената са еднакви, защото стартът е едновременен. Ако условието съдържаше закъснение, трябваше да използваме различни времена, а не да приложим този запис без промяна.
Пример 3: настигане с начален аванс
Задача: по-бавен участник е на 30 км пред по-бързия. Двамата се движат в една посока със скорости 40 км/ч и 55 км/ч. След колко часа по-бързият ще го настигне? За един час по-бързият изминава с 55 − 40 = 15 км повече. С тази скорост се намалява началната разлика от 30 км.
Допълнителна информация ще намерите в подготовка за НВО след 7 клас.
Записваме 15t = 30 и получаваме t = 2 часа. Може да използваме и положенията спрямо старта на по-бързия: той изминава 55t, а по-бавният е на 30 + 40t километра от същата отправна точка. При настигането положенията са равни, следователно 55t = 30 + 40t. Получаваме същото време.
Проверка: за 2 часа по-бързият изминава 110 км. По-бавният изминава 80 км, но има начален аванс 30 км, затова също достига позиция 110 км. Разликата на скоростите е положителна, което позволява настигане. При еднакви скорости и положителен аванс разстоянието би останало постоянно и среща не би настъпила.
Пример 4: по-късно тръгване
Задача: автобус тръгва със скорост 50 км/ч. Един час по-късно автомобил тръгва от същото място в същата посока със скорост 75 км/ч. След колко време от старта на автомобила ще настигне автобуса? През първия час автобусът натрупва аванс 50 км. После разликата на скоростите е 75 − 50 = 25 км/ч.
Времето след старта на автомобила е 50/25 = 2 часа. Общото време от старта на автобуса е 3 часа. За проверка автомобилът изминава 75 × 2 = 150 км, а автобусът 50 × 3 = 150 км. Срещат се на една и съща позиция, което потвърждава отговора и правилния избор на времената.
Уравнение със същото неизвестно е 75x = 50(x + 1). Изразът x + 1 е времето на автобуса, а x е времето на автомобила. Ако означите с неизвестно общото време от първия старт, записът ще бъде друг. И двата подхода са допустими, но значението на неизвестното трябва да остане непроменено до края.
Коя скорост да събирате или изваждате
При движение един срещу друг разстоянието намалява със сумата на скоростите. При движение в една посока по-бързият намалява разликата чрез разликата на скоростите. При отдалечаване в противоположни посоки разстоянието също нараства съсъс сумата. Следователно не е достатъчно да видите думата „среща“; трябва да разберете реалното разположение.
Начертайте стрелки за посоките и отбележете началния аванс или разстояние. После попитайте как се променя разстоянието за един час. Този въпрос често води директно до правилната относителна скорост. Ако резултатът предвижда настигане от по-бавен участник без друга промяна в условията, проверете модела, вместо да приемате отрицателно време като отговор.
Не смесвайте изминат път и положение спрямо обща отправна точка. Участник с аванс може да измине по-малък път, но да достигне същото място. В задача за настигане сравняваме положенията, като включим аванса. Това разграничение обяснява защо понякога към произведението скорост по време се добавя началното разстояние.
При задачите с престой разделете времето на движение и времето на изчакване. Ако се търси път, престоят не добавя изминати километри. Ако се търси общо време от тръгването до пристигането, той се включва. Запишете всеки интервал отделно и следвайте конкретния въпрос. Това разграничение помага и при задачи със закъснял старт, където един участник вече се движи, докато другият още не е тръгнал.
Самостоятелно упражнение и контрол
Опитайте задача: двама пешеходци тръгват един срещу друг от точки на 18 км разстояние със скорости 4 и 5 км/ч. Времето до срещата е 18/(4 + 5) = 2 часа. Проверете с пътищата 8 и 10 км. След това променете само посоките и обсъдете дали вече говорим за среща или за отдалечаване.
За всяко решение направете три проверки: еднакви ли са единиците, правилно ли са избрани времената и изпълнява ли резултатът условието за общо положение или общ път. Ако някоя проверка не е изпълнена, върнете се до модела. Повторното смятане на правилно изведено, но неподходящо уравнение няма да поправи логическата грешка.
Откога измерваме неизвестното време?
Изберете стартовия момент преди уравнението и го запишете с думи. При по-късно тръгване това определя дали другото време ще бъде x + 1 или x − 1.
Какво правим с престоя?
Той не добавя път, но може да влиза в общата продължителност на пътуването. Решаващ е въпросът дали се търси време на движение или време от тръгване до пристигане.
Защо проверяваме положение, а не само път?
При начален аванс двамата могат да изминат различни пътища и да достигнат едно място. Към пътя на участника отпред трябва да добавите началния му аванс.
За обсъждане на конкретните затруднения и подходяща учебна подкрепа използвайте контактите за уроци по математика в Пловдив. Подгответе класа, една трудна задача и целта на подготовката, за да бъде разговорът полезен.
Упражнявайте първо едновременно тръгване, после начален аванс и накрая различни моменти на старт. Записвайте отговора с уточнение от кой момент се измерва времето. Целта е да разбирате защо пътищата се събират или положенията се изравняват. Това прави подхода приложим към нови задачи, вместо зависим от запомнен шаблон.
