Ъглополовяща е лъч, който започва от върха на даден ъгъл и го разделя на два равни ъгъла. Ако лъчът AD е ъглополовяща на ∠BAC, тогава ∠BAD = ∠DAC. В триъгълник често наричаме ъглополовяща и отсечката от върха до пресечната точка на този лъч с срещулежащата страна.
При задачи за ъгли използваме равенството на двете части и сбора на ъглите в триъгълник. При задачи за дължини може да е нужна теоремата за вътрешната ъглополовяща. Тя не казва, че срещулежащата страна се разделя на равни части: отношението зависи от прилежащите страни.
Определение и разграничение от медиана и височина
Нека D е на страната BC на ΔABC, а AD разполовява ъгъла при A. Тогава знаем ∠BAD = ∠DAC, но от това само не следва BD = DC или AD ⟂ BC. Всяко допълнително твърдение изисква условие или доказателство.
Медианата свързва връх със средата на срещулежащата страна. Височината е перпендикулярна на правата, съдържаща тази страна. Ъглополовящата разделя ъгъл, а не задължително страна. В равнобедрен триъгълник трите линии от върха между равните бедра съвпадат, но това специално свойство не се пренася към произволен триъгълник.
Върху скицата отбелязвайте равните ъгли с еднакви дъги. Това показва какво е известно и намалява риска да го замените с равни отсечки. Ако на фигурата няма знак за среда или перпендикулярност, не ги дописвайте само защото чертежът изглежда симетричен.
Пример 1: разделяне на даден ъгъл
Задача: ∠BAC = 146°, а AD е неговата ъглополовяща. Намерете ∠BAD и ∠DAC. Това е най-прекият случай, защото е известна големината на целия ъгъл.
Означаваме всяка равна част с x. Получаваме x + x = 146°, следователно 2x = 146° и x = 73°. Делим на две, защото определението за ъглополовяща гарантира две равни части, а не произволно разделяне на ъгъла.
Отговорът е ∠BAD = ∠DAC = 73°. Проверка: 73° + 73° = 146°, което възстановява дадения цял ъгъл. И двете части са положителни и по-малки от целия ъгъл, така че резултатът е съвместим и с геометричния смисъл.
Обратната задача също е проста: ако единият от двата равни ъгъла е 38°, целият е 76°. Не бъркайте „една част е 38°“ с „целият ъгъл е 38°“. Преди пресмятане посочете дали даденото число стои върху целия ъгъл или само върху една от частите.
Пример 2: ъглополовяща в триъгълник
Задача: в ΔABC са дадени ∠B = 50° и ∠C = 60°. AD е вътрешната ъглополовяща при A, като D лежи на BC. Намерете ∠BAD, ∠ADC и ∠ADB.
Първо намираме целия ъгъл при A от сбора на ъглите в триъгълник: ∠A = 180° − 50° − 60° = 70°. След това използваме ъглополовящата: ∠BAD = ∠DAC = 70° : 2 = 35°. Този ред е необходим, защото не трябва да делим на две някой от другите ъгли.
В ΔADC ъгълът при C е 60°, понеже CD лежи на CB. Значи ∠ADC = 180° − 35° − 60° = 85°. В ΔABD ъгълът при B е 50°, затова ∠ADB = 180° − 35° − 50° = 95°.
Проверяваме независимо: 35° + 60° + 85° = 180° и 35° + 50° + 95° = 180°. Освен това ∠ADC + ∠ADB = 85° + 95° = 180°, защото DB и DC са противоположни лъчи. Трите проверки са съгласувани с положението на D върху страната BC.
Този пример показва, че вътрешната ъглополовяща може да образува различни ъгли със страната, която пресича. Тук единият е 85°, а другият е 95°: нито един не е прав. Следователно от наличието на ъглополовяща не следва автоматично наличие на височина.
Построяване с пергел и линия
Започнете от два лъча с общ връх A. С център A начертайте дъга, която пресича двата лъча в E и F. Използването на един и същ радиус осигурява AE = AF. Точките трябва да са ясни и да са върху съответните рамена на ъгъла.
След това от E и F начертайте дъги с еднакъв радиус, достатъчно голям, за да се пресекат във вътрешността на ъгъла. Нека пресечната точка е K. Прокарайте лъча AK с линия. Не променяйте разтвора на пергела между двете дъги, защото тогава няма основание EK и FK да са равни.
Обяснението използва еднакви триъгълници: AE = AF, EK = FK и AK е обща страна. Следователно ΔAEK и ΔAFK са еднакви по три страни и ъглите при A са равни. Така построението е подкрепено с доказателство, а не само с приблизително измерване с транспортир.
Теоремата за вътрешната ъглополовяща
В ΔABC, ако AD е вътрешна ъглополовяща и D лежи на BC, тогава BD/DC = AB/AC. Редът на буквите е важен: отсечката към B се съпоставя със страната AB, а отсечката към C — с AC. Ако обърнете само едното отношение, ще получите грешна зависимост.
Теоремата се отнася до конкретното условие за ъглополовяща. Не я прилагайте към всяка линия, спусната от връх към срещулежащата страна. Ако условието е само „D е точка на BC“, няма основание да се използва отношението без допълнителен факт.
Има и свойство за разстояния: всяка точка върху вътрешната ъглополовяща е на равни перпендикулярни разстояния от рамената на ъгъла. Тези разстояния се измерват по перпендикуляри, не по произволни наклонени отсечки. Разграничаването на различните свойства помага да се избере точно необходимото за задачата.
Пример 3: дължини на отсечките по основата
Задача: в ΔABC е дадено AB = 8 cm, AC = 12 cm и BC = 15 cm. AD е вътрешната ъглополовяща. Намерете BD и DC.
Използваме BD/DC = AB/AC = 8/12 = 2/3. Следователно можем да запишем BD = 2k и DC = 3k, където k е положителна дължина. Сборът на двете отсечки е цялата страна: 2k + 3k = 15 cm, тоест 5k = 15 cm и k = 3 cm.
Получаваме BD = 6 cm и DC = 9 cm. Проверка на сбора: 6 + 9 = 15 cm. Проверка на отношението: 6/9 = 2/3 = 8/12. По-дългата отсечка е към C и съответства на по-дългата прилежаща страна AC, което е допълнителен смислов ориентир.
Ако погрешно приемем D за среда, ще получим 7,5 cm и 7,5 cm. Сборът ще е правилен, но отношението ще е 1, а не 2/3. Този пример показва защо само една проверка понякога е недостатъчна: трябва да се удовлетворят всички използвани условия.
Въпроси, грешки и самостоятелно упражнение
Кога ъглополовящата разделя страната на две равни части?
В разглежданата ситуация това се случва, когато прилежащите страни са равни. От BD/DC = AB/AC получаваме отношение 1 при AB = AC. Това е характерният случай на равнобедрен триъгълник, а не общо свойство на всяка ъглополовяща.
Как да проверя дали съм обърнал отношението?
Назовете страната и отсечката при един и същ краен връх. AB се съпоставя с BD, а AC с DC. После проверете и числово. Ако по-дългата прилежаща страна съответства на по-къса отсечка при същия ред на отношенията, върнете се към записа.
Достатъчно ли е да измеря двата ъгъла?
Измерването може да служи за приблизителна проверка на чертежа, но не заменя доказателството. Дебелината на линиите и неточността на инструмента могат да дадат близки стойности. В решението използвайте определението, дадените равенства и приложимите теореми.
Как да продължа упражнението?
Решете първия пример с цял ъгъл 118°, а третия с AB = 6 cm, AC = 9 cm и BC = 10 cm. Проверете съответно сбора на ъглите и двете условия за отсечките. За помощ в Пловдив разгледайте подготовката за НВО след 7 клас в Пловдив, материала за грешките от невнимание и контактите за уточняване на урок; подгответе собствено решение, а не само окончателните числа.
